Valor medio y valor eficaz de una señal

[Carlos]

Es frecuente encontrarse en electrónica de potencia con los conceptos de valor medio y valor eficaz de una señal.
   Es frecuente que estos conceptos se confundan.
   En ocasiones hay que calcularles y no se sabe cómo hacerlo.
   Por último hay que conocer para qué sirven y cómo se utilizan.

En este hilo voy a intentar resolver estas dudas.

Nota sobre la precisión de los cálculos:
Para explicar los conceptos intentaré evitar en todo momento utilizar integrales o derivadas, para que la explicación sea más sencilla para todo el mundo. Esto necesariamente añade un pequeño error en los cálculos. La intención de la explicación es que se entiendan los conceptos, sin entrar en el cálculo exacto. Por esa razón, cuando sea oportuno, añadiré a la explicación una nota sobre el error comentido al utilizar valores discretos.


Enlaces de interés:
   Media cuadrática
   Root mean square
   

[Carlos]

Valor medio

El valor medio de una señal se calcula sumando todos los valores de una señal y dividiendo entre el número de valores sumados:

   Valor medio = Suma de valores / número de valores

Cuantos más valores se tomen, más preciso será el cálculo.


Vamos a calcular el valor medio de una señal en diente de sierra:

   

   Valor inferior = 0
   Valor superior = 10
   Numero de valores = 11
   Valores de la señal = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (a partir de aquí, la señal se repite)

   Valor medio = Suma de valores / número de valores

   Valor medio = (0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10) / 11 = 5

Este valor se puede calcular de forma intuitiva. Si la señal en diente de sierra cambia desde 0 hasta 10, es lógico pensar que su valor medio es de 5.

Aplicaciones:
El valor medio de una señal permite conocer la componente continua de la señal, eliminando el rizado.
Si la señal se filtra con un filtro paso bajos la salida del filtro valdrá exactamente 5.
Si se mide la señal con un polímetro normal (de lectura lenta y no RMS) el valor medido será también de 5.

[Carlos]

Valor eficaz:

El valor eficaz de una señal se calcula sumando el cuadrado de todos los valores de una señal y dividiendo entre el número de valores sumados. Por último se calcula la raíz cuadrada del resultado:

   Valor medio = sqrt ( Suma de valores al cuadrado / número de valores )

Cuantos más valores se tomen, más preciso será el cálculo.


Vamos a calcular el valor eficaz de una señal en diente de sierra:

   


Cálculo del valor eficaz:

   Valor inferior = 0
   Valor superior = 10
   Numero de valores = 11
   Valores de la señal = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 (a partir de aquí, la señal se repite)

   Valor eficaz = sqrt ( Suma de valores al cuadrado / número de valores )

   Valor eficaz = sqrt [ (0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 + 7^2 + 8^2 + 9^2 + 10^2)  / 11 ] =
   Valor eficaz = sqrt [ (0 + 1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36 + 49 + 64 + 81 + 100)  / 11]
   Valor eficaz = sqrt [ 385 / 11   ] = 5.916   (error = +2.4%)

En este caso el cálculo con valores discretos tiene error. El valor eficaz sin error será = 10 / sqrt(3) = 5.773
El cálculo del valor eficaz es más sensible a los errores que el valor medio.
Para cometer el menor error posible, es preferible tomar valores en la mitad de los intervalos. Con este método, el cálculo se complica pero consigue mejor precisión:


Cálculo del valor eficaz con valores en la mitad del intervalo:

   Valor inferior = 0
   Valor superior = 10
   Numero de valores = 10
   Valores de la señal = 0.5, 1.5, 2.5, 3.5, 4.5, 5.5, 6.5, 7.5, 8.5, 9.5  (a partir de aquí, la señal se repite)

   Valor eficaz = sqrt [ (0.5^2 + 1.5^2 + 2.5^2 + 3.5^2 + 4.5^2 + 5.5^2 + 6.5^2 + 7.5^2+ 8.5^2+ 9.5^2) / 10 ]
   Valor eficaz = 5.776   (error = -0.12%)

Como puede verse, el error se reduce en un factor de 20.


Aplicaciones:
La principal aplicación del valor eficaz en electrónica es calcular el calentamiento que producirá esa señal sobre una resistencia.
Sirve para estimar o calcular el calentamiento de cables, resistencias, transformadores, motores, y en general todos los aparatos o componentes que tengan una resistencia interna. Esto se debe a la ecuación de calentamiento de una resistencia, que depende del cuadrado de la corriente o del cuadrado de la tensión aplicadas:

   P = I^2 · R = V^2 / R


En general este valor servirá para calcular la eficacia de una serie de valores cuando la fórmula relacionada tenga un término al cuadrado.
Otro ejemplo de aplicación es para calcular la velocidad eficaz de un conjunto de partículas, porque su energía depende del cuadrado de la velocidad:

   E = 0.5 · M · V^2

[Carlos]

Valores medios y eficaces de algunas señales

En este apartado pondré algunas señales típicas, sus valores medios y eficaces, así como algunas propiedades interesantes para calcular los valores eficaces.



Señal cuadrada:

   

   Valor mínimo = 0
   Valor máximo = Vmax
   Ancho de pulso = D·T
   Periodo = T

   D es el ciclo de trabajo. Es un valor entre 0 y 1 que indica el porcentaje de tiempo que está la señal a nivel alto.


   Valor medio = Vmax · D

   Valor eficaz = Vmax · sqrt(D)



Señal triangular:

   

   Valor mínimo = 0
   Valor máximo = Vmax
   Periodo = T

   Estas fórmulas valen para señales triangulares de cualquier forma, tanto simétricas como en diente de sierra.


   Valor medio = Vmax · 0.5

   Valor eficaz = Vmax  / sqrt(3)



Señal triangular discontinua:



   Valor mínimo = 0
   Valor máximo = Vmax
   Periodo = T
   Duración de la señal triangular = D·T


   Valor medio = Vmax · 0.5 · D

   Valor eficaz = Vmax  · sqrt(D/3)



Suma de señales:
Si una señal está compuesta por la suma de varias señales, se puede calcular el valor medio y eficaz de cada una de las señales y unir los resultados con las siguientes fórmulas:


   Valor medio total = Valor_medio_1 + Valor_medio_2

   Valor eficaz total = sqrt( Valor_eficaz_1 ^ 2 + Valor_eficaz_2 ^ 2 )