Regresión lineal

[Carlos]

Fórmulas para el cálculo de regresión lineal
La regresión lineal permite calcular la ecuación de una recta a partir de datos muestreados con ruido aleatorio.
Es util para eliminar el ruido de una serie de datos tomados del mundo real y conseguir medidas más exactas o aproximar una relación lineal entre dos variables.

   


Enlaces:
http://es.wikipedia.org/wiki/Regresi%C3%B3n_lineal
http://www.monografias.com/trabajos30/regresion-multiple/regresion-multiple.shtml
https://en.wikipedia.org/wiki/Linear_regression

[Carlos]

Regresión lineal de dos parámetros:
   En este modelo se calcula la ecuación de una recta con pendiente a y offset b.

   Ecuación:    y = a·x + b

   

    a = (N·Sxy - Sx·Sy) / (N·Sx2 - (Sx)^2)

    b = (Sy - a·Sx) / N

    r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) )

    error = sqrt( (Sy2 - b·Sy - a·Sxy) / (n-2) )

   
    N = número de datos calculados
    Sx = Sumatorio de los valores x
    Sy = Sumatorio de los valores y
    Sx2  = Sumatorio de los valores x al cuadrado
    Sy2 = Sumatorio de los valores y al cuadrado
    Sxy = Sumatorio de la multiplicación de los valores x e y
    r = coeficiente de correlación
    error = error estándar de estimación



Ejemplo:

X	Y	X^2	Y^2	XY
0	3	0	9	0
1	5	1	25	5
2	6	4	36	12
3	8	9	64	24
4	9	16	81	36

Sumatorios:

Sx	Sy	Sx2	Sy2	Sxy
10	31	30	215	77

Cálculo de parámetros:

    a = (N·Sxy - Sx·Sy) / (N·Sx2 - Sx ^ 2) = (5·77 - 10·31) / (5·30 - 10^2) = 1.5

    b = (Sy - a·Sx) / N = (31 - 1.5 · 10) / 5 = 3.2

    r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) ) =
          (5·77 - 10·31) / sqrt( (5·30 - 10^2) · (5·215 - 31^2) ) = 0,9934

    error = sqrt( (Sy2 - b·Sy - a·Sxy) / (n-2) ) =sqrt( (215 - 3.2·31 - 1.5·77) / (5-2) ) = 0.3162

    y = 1.5 x + 3.2


Gráfica:

   

[Carlos]

Regresión lineal de un parámetro:
   En este modelo, se supone que la recta de regresión pasará por el punto (0, 0)

   Ecuación:   y = a·x

   

   a = Sxy / Sx2

   r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) )

   error = sqrt( (Sy2 - a·Sxy) / (n-2) )

   
   N = número de datos calculados
   Sx = Sumatorio de los valores x
   Sy = Sumatorio de los valores y
   Sx2  = Sumatorio de los valores x al cuadrado
   Sy2 = Sumatorio de los valores y al cuadrado
   Sxy = Sumatorio de la multiplicación de los valores x e y
   r = coeficiente de correlación
   error = error estándar de estimación



Ejemplo:

X	Y	X^2	Y^2	XY
0	1	0	1	0
1	4	1	16	4
2	4	4	16	8
3	8	9	64	24
4	8	16	64	32

Sumatorios:

Sx	Sy	Sx2	Sy2	Sxy
10	25	30	161	68

Cálculo de parámetros:

   a = Sxy / Sx2 = 68 / 30 = 2.6667

   r = (N·Sxy - Sx·Sy) / sqrt( (N·Sx2 - (Sx)^2) · (N·Sy2 - (Sy)^2) ) =
         (5·68 - 10·25) / sqrt( (5·30 - 10^2) · (5·161 - 25^2) ) = 0,94868

   error = sqrt( (Sy2 - a·Sxy) / (n-2) ) =sqrt( (161 - 2.6667·68) / (5-2) ) = 1.5129

   y = 2.6667 · x


Gráfica:

   

[Carlos]

Regresión lineal pasando por un punto:

   Punto = (x0, y0)

   y = y0 + a·(x - x0)

   a = (Sxy - x0·Sy - y0·Sx + N·x0·y0) / ( Sx2 - 2·x0·Sx + N·xo^2)