Circuitos magnéticos.

[Carlos]

1. UNIDADES Y MAGNITUDES
2. FÓRMULAS MAGNÉTICAS
3. CONDUCTORES DE COBRE

[Carlos]

UNIDADES Y MAGNITUDES

Magnitud   Unidad   Descripción
t      Segundo [s ]   Tiempo
f      Herzio [Hz]   Frecuencia
T      Grado centígrado [ºC]   Temperatura
F      Newton [N]   Fuerza
E      Julio [J]   Energía
P      Vatio [W]   Potencia

Unidades y magnitudes eléctricas

V      Voltio [V]   Potencial eléctrico
I      Amperio [A]   Corriente eléctrica
j      [A/m²]   Densidad de corriente eléctrica
ρ      [Ω·m]   Resistividad eléctrica del material

R      Ohmio [Ω]   Resistencia eléctrica
L      Henrio [H]   Inductancia
C      Faradio [F]   Capacidad o Capacitancia

Unidades y magnitudes magnéticas

B      Tesla [T]   Campo magnético
Φ      Weber [Wb]   Flujo magnético
ℜ      Henrio-1 [H-1]   Reluctancia magnética
H      [A/m]   Campo magnetizante
μ      [T·m/A]   Permeabilidad magnética
λ      Metro [m]   Longitud del camino magnético


CONSTANTES:

Constante   Unidad   Descripción
μ₀    1,2566 x 10^-6   Permeabilidad magnética del vacío
μ_r    1000      Permeabilidad magnética relativa del hierro (aproximada)
ρ_cu   17.24 x 10^-9   Resistividad del cobre a 20ºC
π      3.14159265359   Pi, relación entre diámetro y circunferencia

[Carlos]

FÓRMULAS MAGNÉTICAS
  λ = Longitud del circuito magnético [m]
  A = Área efectiva del circuito magnético [m²]
  N = Número de espiras del solenoide

  μ = μ₀ · μ_r
 
  ℜ = λ / (μ · A)

  H = N · I / λ

  B = H · μ
  B = N · I · μ / λ
  B = N · I / (A · ℜ)

  Φ = B · A
  Φ = N · I / ℜ

  L = N² / ℜ
 
  E = 0.5 · Φ² · ℜ
  E = 0.5 · B² · A · λ / μ
  E = 0.5 · I² · L


Semejanza con la ley de Ohm:

  Tensión "magnética" = N · I
  Resistencia "magnética" = ℜ
  Corriente "magnética" = Φ

  V     = R · I     Ley de Ohm para circuitos eléctricos
  N · I = ℜ · Φ   Circuitos magnéticos


Energía almacenada en el entrehierro:

  L · I² = B² · A · λ₀ / μ₀

  L · I = B · A · N


Saturación del material magnético:

  I_max = B_max · A_min · ℜ / N


Fuerzas mecánicas debidas al magnetismo:

  Fuerza entre caras del entrehierro:
  F = 0.5 · B² · A / μ₀
 
  El cálculo está basado en la energía potencial: F = - dE / dλ
  Suponiendo que las piezas mecánicas no se mueven y por lo tanto
  la energía del circuito magnético se mantiene constante.
 
  Fuerza de un conductor en un campo magnético:
  F = I · B · L
  L = longitud del conductor eléctrico

  Fuerza entre dos conductores eléctricos paralelos por los que circula la misma corriente:
  F = 0.5 · μ₀ · I² / (π · r)
  r = distancia entre espiras

[Carlos]

CONDUCTORES DE COBRE

Resistividad del cobre (UNE 20003) [1]:

  ρCu = 1/58 · (1 + 0,00393 x (T - 20)) [Ω/mm²·m]
  T = Temperatura del cobre en ºC
  ρ = Resistividad del cobre en Ω/mm²·m

Temp [ºC]	ρCu [Ω/mm²·m]
20	0,01724
30	0,01792
40	0,01860
50	0,01927
60	0,01995
70	0,02063
80	0,02131
90	0,02198
100	0,02266
110	0,02334
120	0,02402
130	0,02469
140	0,02537

Sección efectiva del conductor:

  S = D · pi / 4

D [mm]	S [mm²]
0,05	0,00196
0,10	0,00785
0,20	0,03142
0,30	0,07069
0,40	0,1257
0,50	0,1963
0,60	0,2827
0,80	0,5027
1,00	0,7854
1,20	1,131
1,40	1,539

[1] Pysmian. Cálculo de caidas de tensión.

[Carlos]

Cálculo del factor de Inductancia AL de un núcleo magnético:

   AL = μ0 · μr · Ae / Le


Cálculo del factor de Inductancia AL de un entrehierro (Air gap):

   AL = μ0 · Ae / g


La fórmula anterior se desvía para entrehierros grandes.
Una fórmula empírica más exacta aplica una corrección que depende de la relación entre la longitud del entrehierro y el perímetro del flujo magnético para compensar la dispersión del flujo magnético en los bordes del material magnético:

   AL = [ 1 + 3 · g / sqrt(Ae) ] · μ0 · Ae / g


Cálculo del factor de Inductancia AL total:

El factor de inductancia total del entrehierro más el núcleo magnético se calcula sumando ambos en paralelo:

   AL_total = 1/( 1/AL_entrehierro   +   1/AL_núcleo_magnético )


Ejemplo: Núcleo E20/10/6 con entrehierro de hoja de papel

Añadimos a un nucleo E20/10/6 material N27 una hoja de papel de separación.

   Ae = 32.1 mm^2
   Le =46.3 mm
   g = 0.2mm · 2 = 0.4 mm

   AL_ferrita =  μ0 · μr · Ae / Le = 1,2566 · 10^-6 · 1490 · 32.1 · 10^-6 / 46.3 · 10^-3
   AL_ferrita =  1298 · 10^-9 (nH/Turn)

   AL_entrehierro =  μ0 ·  Ae / g = 1,2566 · 10^-6 · 32.1 · 10^-6 / 0.4 · 10^-3
   AL_entrehierro =  100 · 10^-9 (nH/Turn)


   AL_total = 1/( 1/AL_entrehierro   +   1/AL_ferrita ) = 93.6 · 10^-9
   AL_total = 93.6 nH/vuelta^2

El valor real será un 22% mayor porque se ha utilizado la fórmula aproximada para calcular el factor de inductancia del entrehierro.


Magnitudes y unidades:
   Ae = Área del núcleo magnético [m^2]
   Le = Longitud del camino del flujo magnético [m]
   AL = Factor de inductancia [H/vuelta^2]
   g = Entrehierro (Air gap) [m]
   μr = Permeabilidad relativa del material magnético
       = 1490 para material N27
       = 1680 para material N87
   μ0 = 1,2566 · 10^-6   Permeabilidad magnética del vacío [H/m]

[Carlos]

Cálculo de la corriente máxima de saturación de una bobina:

Fórmula aproximada que indica que la energía se almacena en el entrehierro y es directamente proporcional a su tamaño y al cuadrado del campo magnético:

   I_max^2  · L = B_max^2 · (Ae · g) / μ0

   I_max^2  · L = Energía almacenada por la inductancia

   (Ae · g) = Volumen del entrehierro (air gap)
   

Fórmula más exacta que utiliza el valor real de AL:

   I_max  = B_max · Ae / (N · AL)


   I_max  = B_max · Ae / sqrt( AL · L )


Magnitudes y unidades:

   I_max = máxima corriente de saturación de la inductancia en amperios [A]
   L = Autoinductancia de la bobina en Henrios [H]
   B_max = Campo magnético que satura el núcleo magnético en Teslas [T]
             = 0.2 a 0.3 Tesla para ferritas tipo N27
             = 0.7 a 1.4 Tesla para polvo de hierro
   Ae = Área del núcleo magnético en metros cuadrados [m^2]
   g = Entrehierro (Air gap) en metros [m]
   AL = Factor de inductancia en henrios por vuelta al cuadrado [H/vuelta^2]
   μ0 = 1,2566 · 10^-6  Permeabilidad magnética del vacío en henrios por metro [H/m]

[Carlos]

Cálculo de calentamiento del cobre con capacidad calorífica:

   dT = 0.29 · dI^2 ·  ro

   dT = Aumento de temperatura con el tiempo [ºC/s]
   dI = Densidad de corriente por el conductor de cobre [A/mm2]
          Varía de 5 a 10 amperios por milímetro cuadrado de sección de cobre, dependiendo del tamaño de la bobina.
   ro = Resistividad del cobre [Ohm/m·mm2]


Potencia generada en el cobre por unidad de volumen:

   Pv = dI^2 · ro

   Pv = Potencia generada por unidad de volumen, en el cobre [W/cm3]
   dI = Densidad de corriente por el conductor de cobre [A/mm2]
          Varía de 5 a 10 amperios por milímetro cuadrado de sección de cobre, dependiendo del tamaño de la bobina.
   ro = Resistividad del cobre [Ohm/m·mm2]


Magnitudes y unidades:

   cm_cu = 385  J/ºC·kg     Capacidad calorífica del cobre
   ρ_cu = 8960  kg/m3     Densidad del cobre
   cv_cu = 3,45·10^6 J/ºC·m3     Capacidad calorífica por volumen del cobre

   ro = 17,24·10^-8  Ohm/m3     Resistividad del cobre a 20ºC
   ct_cu =  0,00393  %/ºC     Factor de resistividad del cobre con la temperatura
   ro = 0,016 Ohm/mm2·m  @ 0ºC
   ro = 0,018 Ohm/mm2·m  @ 30ºC
   ro = 0,020 Ohm/mm2·m  @ 60ºC
   ro = 0,022 Ohm/mm2·m  @ 90ºC